Прямая и плоскость в пространстве

Прямой в трёхмерном пространстве называется множество точек, удовлетворяющих уравнению вида $ax + by + cz = d$.

Плоскостью называется множество точек, определяемых системой двух независимых уравнений первой степени.

$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

где $(x_0, y_0, z_0)$ – точка на прямой, а $(a, b, c)$ – направляющий вектор прямой.

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

где $t$ – параметр.

$ax + by + cz = d$

где $(a, b, c)$ – нормальный вектор плоскости.

$$\frac{x - x_0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} + \frac{y - y_0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} + \frac{z - z_0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = 0$$

где $(x_0, y_0, z_0)$ – точка на плоскости.

Если прямая задана параметрически, то её пересечение с плоскостью определяется решением системы уравнений:

$$\begin{cases} ax + by + cz = d \\ x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

Пусть дана прямая $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$ и точка $M(x_1, y_1, z_1)$. Тогда расстояние вычисляется по формуле:

$$d = \frac{|(x_1 - x_0)b - (y_1 - y_0)a + (z_1 - z_0)c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

Пусть дана плоскость $ax + by + cz = d$ и точка $M(x_1, y_1, z_1)$. Тогда расстояние вычисляется по формуле:

$$d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

прямаяотрезоклиния криваяплоскостьповерхность ортогональныйнормальныйнаправляющий коллинеарныйперпендикулярныйпараллельный высотадлинарасстояние

Найти точку пересечения прямой $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$ и плоскости $2x + 3y - z = 7$.

Решение:

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:

$$\begin{cases} 2x + 3y - z = 7 \\ x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) - (3 + 4t) = 7 \\ x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$$

Решаем систему относительно параметра $t$ и находим координаты точки пересечения.