Прямая на плоскости

окружностьПрямаяплоскость на плоскости определяется как множество точек, удовлетворяющих линейному уравнению вида $ax + by + c = 0$. Здесь $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

$${{a \neq 0} \text{ или } {b \neq 0}}$$

каноническое уравнение плоскостиканоническое уравнение прямойОбщее уравнение прямой имеет вид:

$$ax + by + c = 0$$

где $a^2 + b^2 \neq 0$.

общее уравнение прямойканоническое уравнение плоскостиКаноническое уравнение прямой задается через направляющий вектор $\vec{l}$ и точку $M_0(x_0, y_0)$:

$$\frac{x - x_0}{l_x} = \frac{y - y_0}{l_y}$$

каноническое уравнение плоскостиканоническое уравнение прямойНормальное уравнение прямой записывается следующим образом:

$$x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$$

где $\alpha$ – угол наклона нормали к оси абсцисс, а $p$ – расстояние от начала координат до прямой.

Угол $\varphi$ между двумя прямыми вычисляется по формуле:

$$\tan \varphi = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|$$

где $k_1$ и $k_2$ – угловые коэффициенты прямых.

Расстояние $d$ от точки $M(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ находится по формуле:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$). Координаты точки пересечения находятся решением системы уравнений прямых.

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты совпадают ($k_1 = k_2$) или их нормальные векторы коллинеарны.

$$\vec{n}_1 // \vec{n}_2 \Rightarrow a_1/b_1 = a_2/b_2$$

Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно $-1$ ($k_1 \cdot k_2 = -1$) или скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю.

$$\vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \Rightarrow a_1a_2 + b_1b_2 = 0$$