Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$$

где $\alpha$ – угол между векторами.

Векторным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{c}$, перпендикулярный обоим исходным векторам и направленный так, чтобы тройка векторов образовывала правую тройку:

$$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$$

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах:

$$|\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\alpha)$$

Смешанным произведением трёх векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ называют определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$$

Даны точки $A(1, 2, 3)$, $B(4, 5, 6)$ и $C(7, 8, 9)$. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$, где точка $D$ имеет координаты $(10, 11, 12)$.

Найдем векторы:

$$\overrightarrow{AB} = (3, 3, 3), \quad \overrightarrow{AC} = (6, 6, 6), \quad \overrightarrow{AD} = (9, 9, 9)$$

Вычислим смешанное произведение:

$$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \\ 9 & 9 & 9 \end{vmatrix} = 0$$

Таким образом, объем параллелепипеда равен нулю, что означает, что данные векторы лежат в одной плоскости.

определениеформуласмешанное_произведение

примерскалярное_произведениеправило

примерзначениевекторное_произведение