Векторы и линейные операции над ними

Вектор — это направленный отрезок, характеризующийся длиной (модулемколлинеарнымикомпланарными) и направлением. Обозначается как $\vec{a}$, где $a$ — буква латинского алфавита.

Сумма двух векторов $\vec{a} = (a_x, a_y)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y)$ определяется следующим образом:

$$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$$

Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется так:

$$\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y)$$

Произведение вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ на скаляр $k$ выражается формулой:

$$k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y)$$

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Три вектора считаются компланарными, когда все их концы лежат в одной плоскости.

Если два вектора имеют одинаковое направление, то они называются линейно независимымколлинеарнымимодулем. Если три вектора лежат в одной плоскости, то они называются компланарнымилинейно независимымколлинеарными.

Система векторов называется линейно зависимой, если один из них можно выразить через другие с помощью линейной комбинации. Иначе система называется линейно независимой.

Базисом пространства называется упорядоченная система линейно независимых векторов, через которые можно выразить любой другой вектор этого пространства. Размерностью пространства называют количество векторов базиса.

Набор векторов является линейно зависимымлинейно независимымколлинеарный, если ни один из векторов нельзя представить как линейную комбинацию других. Набор векторов считается линейно зависимыммодулемлинейно независимым, если хотя бы один вектор может быть выражен через остальные.

Векторы широко используются для описания физических величин, таких как скорость, ускорение, сила и момент силы. Также они применяются при решении геометрических задач, например, для нахождения расстояний между точками и углов между прямыми.