Комплексные числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы

Комплексное число — это число вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Здесь $a$ называется действительной частью, обозначается $\text{Re}(z)$, а $b$ — мнимой частью, обозначается $\text{Im}(z)$.

$z = 3 + 4i$

В алгебраической форме комплексное число записывается как $z = a + bi$. Основные операции с комплексными числами аналогичны операциям с действительными числами.

Комплексное число можно представить в виде $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ или кратко $z = r(\cos \varphi + i\varphi)$, где $r$ — модуль числа, $\varphi$ — аргумент числа.

$$z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$$

где $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$, $\varphi = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

Показательная форма комплексного числа определяется формулой Эйлера: $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$.

$$z = re^{i\varphi}$$

Формула Муавра позволяет возводить комплексное число в степень:

$$(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi))^n = r^n (\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$$

Корень n-й степени извлекается по формуле:

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}), \quad k=0,1,\dots,n-1$$

модульамплитудааргумент умножениеделениесложение правилоКрамерамодульформулаМуавра умножениетригонометрияматричнаяарифметика