Для чайников

Шпаргалка — Для чайников

К конспекту

Комплексные числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы

dlyachainikov.ru · Алгебра и геометрия

Определение комплексного числа

Комплексное число — это число вида $z = a + bi$ , где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ( $i^2 = -1$ ). Здесь $a$ называется действительной частью, обозначается $\text{Re}(z)$ , а $b$ — мнимой частью, обозначается $\text{Im}(z)$ .

Пример:

$z = 3 + 4i$

Алгебраическая форма записи

В алгебраической форме комплексное число записывается как $z = a + bi$ . Основные операции с комплексными числами аналогичны операциям с действительными числами.

Примеры операций:

Сложение: $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$

Тригонометрическая форма записи

Комплексное число можно представить в виде $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ или кратко $z = r(\cos \varphi + i\varphi)$

Выражение через модуль и аргумент:

$z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$
где $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$

Показательная форма записи

Показательная форма комплексного числа определяется формулой Эйлера: $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$ .

Представление в показательной форме:

$z = re^{i\varphi}$

Умножение и деление:

При умножении модулей перемножаются, аргументы складываются: $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$

Формула Муавра

$(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi))^n = r^n (\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$

Извлечение корня

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}), \quad k=0,1,\dots,n-1$

Проверка знаний

модуль умножение формулаМуавра тригонометрия