- алгебраическая форма комплексного числа
- Комплексное число в алгебраической форме записывается как $a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица, $i^2 = -1$.
- тригонометрическая форма комплексного числа
- Комплексное число в тригонометрической форме записывается как $r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент числа.
- показательная форма комплексного числа
- Комплексное число в показательной форме записывается как $re^{i\varphi}$, где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент числа. Это форма Эйлера.
- модуль комплексного числа
- Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется как $\sqrt{a^2 + b^2}$. Это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости.
- аргумент комплексного числа
- Аргумент комплексного числа $z = a + bi$ — это угол $\varphi$ между положительной действительной осью и вектором, представляющим число. Значение аргумента не однозначно, оно определяется с точностью до $2\pi$.
- формула Муавра
- Формула Муавра утверждает, что $(r(\cos \varphi + i\sin \varphi))^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$. Это позволяет возводить комплексные числа в степень.
- извлечение корня из комплексного числа
- Извлечение корня $n$-й степени из комплексного числа в тригонометрической форме выполняется по формуле $r^{1/n}(\cos(\varphi + 2k\pi)/n + i\sin(\varphi + 2k\pi)/n)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$. Это даёт $n$ различных корней.
- алгебраические операции с комплексными числами
- Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме выполняется поэлементно: $(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$. Умножение: $(a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i$. Деление: $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$.
- сопряжённое комплексное число
- Комплексное число $z$ называется сопряжённым к числу $a + bi$, если оно записывается как $a - bi$. Сопряжённые числа имеют одинаковый модуль и противоположные аргументы. Сумма и произведение сопряжённых чисел действительны.