Обратная матрица

Обратной матрицей к квадратной матрице $A$ называется такая матрица $A^{-1}$, что выполняется равенство:

$$AA^{-1} = A^{-1}A = E,$$

где $E$ — единичная матрица того же порядка, что и $A$.

Матрица $A$ имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель $|A|$ не равен нулю ($|A|\neq 0$).

Метод заключается в следующем:

Тогда матрица $B$ будет являться обратной к матрице $A$.

Рассмотрим матрицу:

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$$

Расширим её до $(A | E)$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Применяя элементарные преобразования, получаем:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix},$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix},$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Таким образом, обратная матрица равна:

$$A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Проверить правильность можно умножением исходной матрицы на полученную обратную:

$$AA^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

прямая_матрицаобратная_матрицаинверсия

{{определение_обратной_матрицы|A^{-1}|A^{-1}E}}

=0условие_существования_обратной_матрицыA

метод_вычисления_обратной_матрицыпроверка_правильности_вычисленной_обратной_матрицыметод_Жордана-Гаусса

пример_вычисления_обратной_матрицырезультат_преобразованияначальная_матрица

умножение_исходной_на_обратнуюметод_вычисления_обратной_матрицыпроверка_правильности_вычисленной_обратной_матрицы