- Обратная матрица
- Матрица, полученная из исходной заменой каждого элемента на его обратное значение, называется обратной. Матрицы должны быть квадратными и невырожденными.
- Невырожденная матрица
- Матрица $A$ называется невырожденной, если её определитель не равен нулю. В этом случае у матрицы существует обратная матрица.
- Вырожденная матрица
- Матрица, у которой определитель равен нулю, называется вырожденной. Для таких матриц обратная матрица не существует.
- Формула для нахождения обратной матрицы
- Обратная матрица $A^{-1}$ может быть найдена по формуле $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{соседняя матрица}(A)$, где соседняя матрица — это матрица, полученная заменой каждого элемента матрицы на его алгебраическое дополнение.
- Единственность обратной матрицы
- Если матрица $A$ невырожденная, то её обратная матрица существует и единственна. Если матрица вырожденная, то обратной матрицы не существует.
- Свойство обратной матрицы произведения
- Если матрица $A$ и $B$ невырожденные, то $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$. То есть обратная матрица произведения равна произведению обратных матриц в обратном порядке.
- Свойство обратной матрицы обратной матрицы
- Если матрица $A$ невырожденная, то $(A^{-1})^{-1} = A$. То есть обратная матрица обратной матрицы исходной матрицы равна исходной матрице. Это свойство аналогично свойству обратных чисел.
- Свойство обратной матрицы при умножении на число
- Если матрица $A$ невырожденная, то $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} \cdot A^{-1}$, где $k$ — число. Это свойство аналогично свойству обратных чисел при умножении на число.
- Свойство обратной матрицы транспонированной матрицы
- Если матрица $A$ невырожденная, то $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$. То есть обратная матрица транспонированной матрицы равна транспонированной матрице исходной обратной матрицы. Это свойство аналогично свойству обратных чисел при транспонировании.
- Свойство обратной матрицы умножения на единичную матрицу
- Если матрица $A$ невырожденная, то $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E$, где $E$ — единичная матрица. Это свойство аналогично свойству обратных чисел при умножении на обратное число.
- Свойство обратной матрицы умножения на исходную матрицу
- Если матрица $A$ невырожденная, то $A \cdot A^{-1} = E$ и $A^{-1} \cdot A = E$. Это свойство аналогично свойству обратных чисел при умножении на обратное число.