Матрицы и действия над ними

Матрица — это прямоугольная таблица чисел или выражений, записанная в виде:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

где $a_{ij}$ — элемент матрицы, расположенный на пересечении строки $i$ и столбца $j$. Размерность матрицы обозначается как $m \times n$.

Сумма двух матриц одинакового размера определяется поэлементно:

$$A + B = C \quad \text{если}\quad c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

Разность аналогично:

$$A - B = D \quad \text{если}\quad d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$$

Произведение матрицы на скаляр $\alpha$ получается умножением каждого элемента матрицы на этот скаляр:

$$\alpha A = \begin{pmatrix} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} & \dots & \alpha a_{1n} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} & \dots & \alpha a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha a_{m1} & \alpha a_{m2} & \dots & \alpha a_{mn} \end{pmatrix}$$

Произведение матриц возможно тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй:

$$AB = C \quad \text{если}\quad c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$$