Предел функции, замечательные пределы

Предел функции в точке — это такое число, к которому значения функции стремятся, когда аргумент приближается к этой точке. Формально: $\lim_{x\to a}f(x)=A$ означает, что для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, при котором $|f(x)-A|<\varepsilon$ для всех $x$, удовлетворяющих $|x-a|<\delta$.

Замечательный предел первого рода: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. Это означает, что отношение синуса к аргументу стремится к 1 при приближении аргумента к нулю.

Замечательный предел второго рода: $\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$. Это означает, что выражение $(1+x)$ в степени $\frac{1}{x}$ стремится к числу $e$ при приближении $x$ к нулю. Число $e$ примерно равно 2.718.

Функция называется непрерывной в точке, если её предел в этой точке равен значению функции в этой точке. Если предел не существует или не равен значению функции, то функция имеет разрыв в этой точке.

Точка называется точкой разрыва первого рода, если односторонние пределы существуют и конечны, но не равны. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка разрыва второго рода.

Правило Лопиталя: если $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ не определён, но $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ или $\pm\infty$, то $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, при условии, что производные существуют и $g'(x)\neq0$. Это правило помогает вычислять пределы функций, приводя их к более простым выражениям.