Производные: конспект

dlyachainikov.ru · Высшая математика

Что такое производная

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
Дифференцируемая функция всегда непрерывна, но не наоборот: $y = |x|$ непрерывна в нуле, а производной там нет.

Геометрический: $f'(x_0)$ равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке $x_0$ .
Физический: производная координаты по времени — мгновенная скорость

Для производной сложной функции $f(g(x))$ : $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Если $f'(x) > 0$ — функция возрастает, если $f'(x) < 0$ — убывает. В точке экстремума производная

Что такое производная

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Дифференцируемая функция всегда непрерывна, но не наоборот:

y = |x|

непрерывна в нуле, а производной там нет.

Смысл производной

Геометрический:

f'(x_0)

равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке

x_0

Физический: производная координаты по времени — мгновенная скорость