Производные: конспект

Производная функции — это предел отношения значения функцииприращения функцииприращения аргумента к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:Как чайнику

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Дифференцируемая функция всегда непрерывна, но не наоборот: $y = |x|$ непрерывна в нуле, а производной там нет.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для производной неявной функциисложной функцииобратной функции $f(g(x))$: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Сначала «снаружи», потом «внутри».Как чайнику

Если $f'(x) > 0$ — функция возрастает, если $f'(x) < 0$ — убывает. В точке экстремума производная равна нулю (теорема Ферма), а сама точка — экстремум, если производная в ней не существуетменяет знакравна нулю.Как чайнику