Собственные значения и собственные векторы

dlyachainikov.ru · Линейная алгебра и теория матриц

Определение собственных значений и собственных векторов

Собственным значением квадратной матрицы $A$ называется любое число $\lambda$ , при подстановке которого в выражение $(A - \lambda I)$ получается нулевая матрица или вырожденная матрица. Здесь $I$ — единичная матрица того же порядка, что и $A$ .
$(A - \lambda I) = 0 \quad \text{или} \quad |A - \lambda I| = 0$
Собственный вектор $v$ соответствует собственному значению $\lambda$ , если выполняется равенство:
$Av = \lambda v$

Чтобы найти собственные значения матрицы $A$ , нужно решить характеристическое уравнение:
$|A - \lambda I| = 0$
Это уравнение является многочленом степени $n$ относительно $\lambda$ , где $n$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
$|A - \lambda I| = \left|\begin{array}{cc} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{array}\right| = (2-\lambda)^2 - 1 = 0$

После нахождения собственного значения $\lambda$ собственный вектор находится из системы уравнений:
$(A - \lambda I)v = 0$

собственное — это корень характеристического уравнения матрицы. собственный — ненулевой столбец, удовлетворяющий условию $Av=\lambda v$ . характеристическое — уравнение $|A - \lambda I|=0$ . симметричная — матрица, равная своей транспонированной.

Определение собственных значений и собственных векторов

Собственным значением квадратной матрицы

A

называется любое число

\lambda

, при подстановке которого в выражение

(A - \lambda I)

получается нулевая матрица или вырожденная матрица. Здесь

I

— единичная матрица того же порядка, что и

A

(A - \lambda I) = 0 \quad \text{или} \quad |A - \lambda I| = 0

Собственный вектор

v

соответствует собственному значению

\lambda

, если выполняется равенство:

Av = \lambda v

Нахождение собственных значений

Чтобы найти собственные значения матрицы

A

, нужно решить характеристическое уравнение:

|A - \lambda I| = 0

Это уравнение является многочленом степени

n

относительно

\lambda

, где

n

Применение собственных значений и векторов

собственное — это корень характеристического уравнения матрицы. собственный — ненулевой столбец, удовлетворяющий условию

Av=\lambda v

. характеристическое — уравнение

|A - \lambda I|=0

. симметричная — матрица, равная своей транспонированной.