Собственные значения и собственные векторы

Собственным значением квадратной матрицы $A$ называется любое число $\lambda$, при подстановке которого в выражение $(A - \lambda I)$ получается нулевая матрица или вырожденная матрица. Здесь $I$ — единичная матрица того же порядка, что и $A$.

$$(A - \lambda I) = 0 \quad \text{или} \quad |A - \lambda I| = 0$$

Собственный вектор $v$ соответствует собственному значению $\lambda$, если выполняется равенство:

$$Av = \lambda v$$

Чтобы найти собственные значения матрицы $A$, нужно решить характеристическое уравнение:

$$|A - \lambda I| = 0$$

Это уравнение является многочленом степени $n$ относительно $\lambda$, где $n$ — порядок матрицы $A$.

Рассмотрим матрицу:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Найдем её собственные значения:

$$|A - \lambda I| = \left|\begin{array}{cc} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{array}\right| = (2-\lambda)^2 - 1 = 0$$

Решая это уравнение, получаем $\lambda_1 = 1$ и $\lambda_2 = 3$.

После нахождения собственного значения $\lambda$ собственный вектор находится из системы уравнений:

$$(A - \lambda I)v = 0$$

Пусть $\lambda = 1$ для матрицы $A$ выше. Тогда система уравнений будет:

$$\begin{cases} (2-1)x + y = 0 \\ x + (2-1)y = 0 \end{cases}$$

Получаем, что собственным векторами являются все векторы вида $k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, где $k$ — произвольное действительное число.

Собственные значения и векторы используются в различных областях математики и инженерии, например, в теории колебаний, анализе устойчивости систем, спектральном разложении матриц и других задачах.

значениесобственноечисло — это корень характеристического уравнения матрицы. собственныйхарактеристическоевектор — ненулевой столбец, удовлетворяющий условию $Av=\lambda v$. уравнениехарактеристическоесобственный — уравнение $|A - \lambda I|=0$. симметричнаясобственноематрица — матрица, равная своей транспонированной.