Ранг матрицы

dlyachainikov.ru · Линейная алгебра и теория матриц

Определение ранга матрицы

Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы. Обозначается ранг как $\operatorname{rank}(A)$ или $r(A)$ .

Если матрица имеет размерность $m \times n$ и содержит нулевые строки, то её ранг равен нулю.
Для квадратной матрицы порядка $n$ ранг равен $n$ тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Ранг суммы двух матриц не превышает суммы их рангов: $\operatorname{rank}(A + B) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$ .

Если система линейных уравнений представлена в матричной форме $AX = B$ , где $A$ — матрица коэффициентов системы, $X$ — вектор неизвестных, а $B$ — вектор свободных членов, то:
если $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A|B])$

Пусть даны две матрицы $A$ размера $m \times k$ и $B$ размера $k \times n$ . Тогда выполняется неравенство:
$\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)).$

Свойства ранга матрицы

Если матрица имеет размерность

m \times n

и содержит нулевые строки, то её ранг равен нулю.

Для квадратной матрицы порядка

n

ранг равен

n

тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Ранг суммы двух матриц не превышает суммы их рангов:

\operatorname{rank}(A + B) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)

Связь ранга матрицы с решением систем линейных уравнений

Если система линейных уравнений представлена в матричной форме

AX = B

, где

A

— матрица коэффициентов системы,

X

— вектор неизвестных, а

B

— вектор свободных членов, то:

если

\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A|B])

Теорема о ранге произведения матриц

Пусть даны две матрицы

A

размера

m \times k

B

размера

k \times n

. Тогда выполняется неравенство:

\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)).