Ранг матрицы

Определение ранга матрицы

называется максимальное количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы. Обозначается ранг как $\operatorname{rank}(A)$ или $r(A)$ .

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.
Подсчитать число ненулевых строк в полученном виде.

Свойства ранга матрицы

Если матрица имеет размерность $m \times n$ и содержит нулевые строки, то её ранг равен нулю.
Для квадратной матрицы порядка $n$ ранг равен $n$ тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Ранг суммы двух матриц не превышает суммы их рангов: $\operatorname{rank}(A + B) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$ .

Пример вычисления ранга матрицы

Рассмотрим матрицу

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}.$

Приведём её к ступенчатому виду:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Таким образом, ранг данной матрицы равен 1 ( $\operatorname{rank}(A) = 1$ ).

Связь ранга матрицы с решением систем линейных уравнений

Если система линейных уравнений представлена в матричной форме $AX = B$ , где $A$ — матрица коэффициентов системы, $X$ — вектор неизвестных, а $B$ — вектор свободных членов, то:

если $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A|B])$ , система несовместна;
если $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A|B]) = r$ , система совместна и имеет бесконечное множество решений при $r < n$ (где $n$ — количество переменных);
если $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A|B]) = n$ , система имеет единственное решение.

Теорема о ранге произведения матриц

Пусть даны две матрицы $A$ размера $m \times k$ и $B$ размера $k \times n$ . Тогда выполняется неравенство:

$\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)).$

Определение ранга матрицы

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.
Подсчитать число ненулевых строк в полученном виде.

Свойства ранга матрицы

Если матрица имеет размерность $m \times n$ и содержит нулевые строки, то её ранг равен нулю.
Для квадратной матрицы порядка $n$ ранг равен $n$ тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Ранг суммы двух матриц не превышает суммы их рангов: $\operatorname{rank}(A + B) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$ .

Пример вычисления ранга матрицы

Рассмотрим матрицу

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}.$

Приведём её к ступенчатому виду:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Таким образом, ранг данной матрицы равен 1 ( $\operatorname{rank}(A) = 1$ ).

Связь ранга матрицы с решением систем линейных уравнений

если $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A|B])$ , система несовместна;
если $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A|B]) = r$ , система совместна и имеет бесконечное множество решений при $r < n$ (где $n$ — количество переменных);
если $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A|B]) = n$ , система имеет единственное решение.

Теорема о ранге произведения матриц

Пусть даны две матрицы $A$ размера $m \times k$ и $B$ размера $k \times n$ . Тогда выполняется неравенство:

$\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)).$

Определение ранга матрицы

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Свойства ранга матрицы

Пример вычисления ранга матрицы

матричная нормаранг матрицыранговая матрица

Связь ранга матрицы с решением систем линейных уравнений