Механические колебания и волны — Физика

Свободные гармонические колебания

— это движение, при котором координата тела изменяется по закону синуса или косинуса во времени.

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$

где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $\phi$ — начальная фаза.

Уравнение свободных колебаний

Свободные колебания происходят под действием возвращающей силы, пропорциональной смещению:

$F = -kx$

Уравнение движения имеет вид:

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -k x$

или

$\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$

где $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ — собственная круговая частота системы.

Затухающие колебания

Если система испытывает сопротивление среды, то свободные колебания затухают со временем. Коэффициент затухания обозначается через $\gamma$ . Тогда уравнение движения принимает вид:

$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$

Вынужденные колебания

При воздействии внешней периодической силы возникают вынужденные колебания. Если сила действует с частотой $\Omega$ , то уравнение движения выглядит так:

$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = F_0 \cos(\Omega t)$

Амплитуда резонанса достигается при совпадении частот $\Omega = \omega_0$ .

Волновое движение

Волна — это распространение возмущения в пространстве и времени. Основные характеристики волн:

длина волны ( $\lambda$ );
скорость распространения ( $v$ );
частота ( $\nu$ ).

Связь между этими величинами выражается формулой:

$\lambda v = \nu$

Продольные и поперечные волны

В зависимости от направления смещения частиц относительно направления распространения различают продольные и поперечные волны.

Продольная волна характеризуется смещением вдоль направления распространения, а поперечная — перпендикулярно ему.

Примеры задач

Найти частоту собственных колебаний пружинного маятника массой $m$ и жёсткостью пружины $k$ :

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Определить резонансную частоту системы, состоящей из массы $m$ и коэффициента затухания $\gamma$ :

$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$

Разметка пропусков

Гармоническое колебание описывается законом $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ , где $A$ — , $\omega$ — , $\phi$ — .
Собственная круговая частота определяется как $\omega_0 = \sqrt{\frac{{{k}}}{{m}}}$ .
При наличии сопротивления коэффициент затухания обозначается как $\gamma$ , и уравнение движения записывается как $\frac{{d^2 x}}{{dt^2}} + 2\gamma \frac{{dx}}{{dt}} + \omega _0^2 x = 0$ .
Резонанс возникает при частоте вынуждающей силы равной собственной частоте системы, т.е. $\Omega = \omega_0$ .
Длина волны связана со скоростью распространения и частотой следующим образом: $\lambda v = \nu$ .