Библиотека Возможности Предметы Вопросы Войти Начать

Для чайников

dlyachainikov.ru

Сессия для чайников — разберёмся вместе

Политика конфиденциальности Пользовательское соглашение Контакты

Шпаргалка — Для чайников

Войти Начать

К конспекту

Формула Ньютона–Лейбница и свойства определённого интеграла

dlyachainikov.ru · Математический анализ

Формула Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной функции. Она гласит:
$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$
где $F(x)$ — любая первообразная функции $f(x)$ , а $a$ и $b$ — пределы интегрирования.

Пример применения формулы

Найти $\int_{1}^{2} x^2 dx$ .
Первообразная функции $x^2$ равна $\frac{x^3}{3}$

Свойства определённого интеграла

$\int_{a}^{b} [k_1 f(x) + k_2 g(x)] dx = k_1 \int_{a}^{b} f(x) dx + k_2 \int_{a}^{b} g(x) dx$

Примеры задач

Вычислить $\int_{0}^{1} e^{-x} dx$ . Ответ: $1 - e^{-1}$

Вопросы для самопроверки

определённый интеграл?
линейность свойство определённого интеграла?
интеграл неотрицательной функции всегда положителен?

. Тогда:

\int_{1}^{2} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{7}{3}

\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx

Если функция неотрицательна на отрезке

[a,b]

:

\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0

.

Доказать неравенство

\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx \leq 1

. Ответ: верно.