Методы интегрирования: замена переменной и по частям

Метод замены переменной используется для упрощения подынтегрального выражения. Суть метода заключается в замене исходной переменной интегрирования новой переменной, что позволяет привести интеграл к более простому виду.

Пример:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}}$$

Пусть $u = x + 1$. Тогда $du = dx$ и $x = u - 1$. Подставим:

$$\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C = \ln |x+1| + C$$

интегрирование переменныхподстановка переменнойзамена переменной

Метод интегрирования по частям применяется при интегрировании произведений функций. Он основан на формуле:

$$\int u dv = uv - \int v du$$

Пример:

$$\int x e^x dx$$

Выберем $u = x$, тогда $du = dx$, $dv = e^x dx$, $v = e^x$. Применяем формулу:

$$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$$

формула интегрирования по частямметод интегрирования произведения функцийправило интегрирования по частям

Оба метода позволяют значительно упростить процесс вычисления интегралов. Выбор подходящего метода зависит от структуры подынтегральной функции.