Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядкаРешение:эллипсоид называется множество точек трёхмерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

$$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0$$

где хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля ($A,B,C \neq 0$).

Каждой поверхности второго порядка можно поставить в соответствие каноническое уравнение, которое упрощает её изучение. Для этого используется метод выделения полных квадратов и перехода к новой системе координат.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$$

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$$

$$\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{q} = z$$

$$\frac{x^2}{p} - \frac{y^2}{q} = z$$

На основе анализа коэффициентов уравнения различают следующие типы поверхностей:

Определить тип поверхности, заданной уравнением

$$x^2 + y^2 - z^2 = 1$$

Решение:эллипсоидПоверхностью второго порядка Здесь $A=1, B=1, C=-1$. Видим, что это однополостный гиперболоид.

однополостный гиперболоидэллипсоидконус

Найти каноническое уравнение эллипсоида, заданного уравнением

$$4x^2 + 9y^2 + 36z^2 = 36$$

Решение: Приведём уравнение к стандартному виду, разделив обе части на 36:

$$\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} + \frac{36z^2}{36} = 1$$

Получаем

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + z^2 = 1$$

Это эллипсоид с полуосями $a=3, b=2, c=1$.

гиперболоидпараболоидэллипсоид