Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Формула Муавра позволяет возводить комплексное число в целую степень или извлекать корни из комплексного числа.

Комплексное число $z$ можно представить в тригонометрической форме как:

$$z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$$

где $r$ – модуль числа, $\theta$ – аргумент.

Если $n$ – целое положительное число, то формула Муавра выглядит так:

$$(z^n) = r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

Пусть дано число $z = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ)$. Найдем $z^3$:

$$z^3 = 2^3 (\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ) = 8(i)$$

Извлечение корня степени $n$ из комплексного числа $z$ определяется следующим образом:

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\theta+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\theta+2\pi k}{n})$$

где $k=0,1,\dots,n-1$.

Найти все кубические корни из числа $z = -8$:

$$z = 8(\cos 180^\circ + i\sin 180^\circ)$$

Корни будут иметь вид:

$$\sqrt[3]{-8} = 2\left(\cos\frac{180^\circ+360^\circ k}{3}+i\sin\frac{180^\circ+360^\circ k}{3}\right), \quad k=0,1,2$$

Подставляя значения $k$, получаем три корня:

Проверим правильность найденного корня с помощью формулы Муавра:

$$(2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ))^3 = 8(\cos 180^\circ + i\sin 180^\circ) = -8$$

формулаКрамераформулаМуавратеоремаКронекераКапелли показательнаяФормаалгебраическаяФорматригонометрическаяФорма определительМатрицыизвлечениеКорняматричнаяОперация

Правильные ответы выделены жирным шрифтом.