Системы линейных уравнений: методы Гаусса, Крамера, матричный метод, теорема Кронекера–Капелли

dlyachainikov.ru · Алгебра и геометрия

Метод Гаусса

Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Он основан на последовательном приведении системы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк.

Пример метода Гаусса:

$\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y + z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \end{cases}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
Получаем решение: $x=1$ , $y=1$ , $z=1$ .

Метод Крамера

Метод Крамера применяется при решении систем линейных уравнений через определители матриц. Для каждого неизвестного строится своя система, где вместо соответствующего столбца подставляется столбец свободных членов.

Формулы Крамера:

Пусть дана система $Ax=b$ :
$x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta}, \quad \text{где } \Delta=\det A, \quad \Delta_i=\det(A_i)$

Матричный метод

Матричный метод заключается в использовании обратной матрицы для нахождения решения системы уравнений вида $Ax=b$ . Решение находится как $x=A^{-1}b$ .

Теорема о существовании обратной матрицы:

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен числу её строк или столбцов.

Примеры задач

Решить систему методом Гаусса: $2x+3y-z=7$ , $x-y+z=2$

Метод Гаусса

Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Он основан на последовательном приведении системы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк.

Пример метода Гаусса:

\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y + z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \end{cases}

\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Получаем решение:

x=1

y=1

z=1

Метод Крамера

Метод Крамера применяется при решении систем линейных уравнений через определители матриц. Для каждого неизвестного строится своя система, где вместо соответствующего столбца подставляется столбец свободных членов.