Системы линейных уравнений: методы Гаусса, Крамера, матричный метод, теорема Кронекера–Капелли

Метод ГауссаМетод НьютонаМетод Эйлера предназначен для решения систем линейных уравнений. Он основан на последовательном приведении системы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк.

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y + z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \end{cases}$$

Приведение к треугольному виду:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

Получаем решение: $x=1$, $y=1$, $z=1$.

Метод КрамераМетод Гаусса–КрамераМетод Гаусса–Жордана применяется при решении систем линейных уравнений через определители матриц. Для каждого неизвестного строится своя система, где вместо соответствующего столбца подставляется столбец свободных членов.

Пусть дана система $Ax=b$:

$$x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta}, \quad \text{где } \Delta=\det A, \quad \Delta_i=\det(A_i)$$

Метод Гаусса–КрамераМатричный методМетод Гаусса–Жордана заключается в использовании обратной матрицы для нахождения решения системы уравнений вида $Ax=b$. Решение находится как $x=A^{-1}b$.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда Определитель матрицыранг матрицыРанг вектора равен числу её строк или столбцов.

Теорема утверждает, что система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Ранг матрицы определяется числом линейно независимых строк или столбцов.