Ранг матрицы — Алгебра и геометрия

Определение ранга матрицы

Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы.

Обозначение

$r(A)$ – ранг матрицы $A$ .

Вычисление ранга методом элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями называются следующие операции с матрицей:

перестановка двух строк (столбцов);
умножение строки (столбца) на ненулевое число;
прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число.

Пример вычисления ранга

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

Применим элементарные преобразования:

Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 2.
Вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на 3.

Получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Таким образом, ранг данной матрицы равен 1 ( $r(A)=1$ ).

Свойства ранга матрицы

Если матрица квадратная и невырожденная, то её ранг равен числу строк (или столбцов).
Ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы.
Ранг суммы матриц меньше либо равен сумме рангов этих матриц.

Теорема о ранге произведения матриц

Если произведение матриц $AB$ существует, то выполняется неравенство:

$r(AB) \leq \min(r(A), r(B))$

Применение ранга матрицы

Ранг используется при решении систем линейных уравнений. Например, система имеет решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Разметка пропусков