Как вычисляются неопределённые интегралы рациональных и иррациональных функций? Приведи примеры.

План ответа

1. Дать определение первообразной функции и неопределённого интеграла. Формулы — LaTeX в $...$
2. Привести примеры вычисления неопределённых интегралов рациональных и иррациональных функций. Формулы — LaTeX в $...$

Ответ на 1 минуту

Первообразная функции $F(x)$ — это функция, производная которой равна подынтегральной функции, $F'(x) = f(x)$. Неопределённый интеграл обозначается $\int f(x) dx$. Примеры вычислений: $\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan x + C$, $\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$. Для рациональных функций применяется разложение на простейшие дроби. Для иррациональных — замена переменных. Например, $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}}$.