Что такое линейный оператор в евклидовом пространстве и какова его матрица в ортонормированном базисе? Приведи пример.

План ответа

1. Дать определение линейного оператора в евклидовом пространстве и его матрицы в ортонормированном базисе
2. Привести пример линейного оператора в евклидовом пространстве и его матрицы в ортонормированном базисе
3. Описать связь между нормой вектора и длиной вектора в евклидовом пространстве и действием линейного оператора на них в ортонормированном базисе

Ответ на 1 минуту

Линейный оператор в евклидовом пространстве в ортонормированном базисе — это оператор, сохраняющий скалярное произведение и длины векторов. Его матрица в ортонормированном базисе — это ортогональная матрица. Например, оператор поворота плоскости на угол $\theta$ в ортонормированном базисе имеет матрицу $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$