Что такое собственные значения и собственные векторы линейного оператора? Приведи пример нахождения собственных значений и векторов.

План ответа

1. Дать определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора
2. Привести пример нахождения собственного значения и вектора для линейного оператора
3. Описать геометрический смысл собственных векторов и собственных значений линейного оператора

Ответ на 1 минуту

Собственное значение — это скаляр $\lambda$, при котором существует ненулевой вектор $v$, такой что оператор действует на $v$ как умножение на $\lambda$. Собственный вектор — это такой вектор $v$, что оператор переводит его в кратное себе значение. Например, для оператора растяжения плоскости в 2 раза вдоль оси $x$ собственные значения — 2 и 1, собственные векторы — векторы оси $x$ и любой ненулевой вектор оси $y$ соответственно