Дайте определение матрицы Грама и объясните её связь с ортогональностью векторов. Приведи формулу вычисления матрицы Грама для трёх векторов в $R^3$

План ответа

1. Дать определение матрицы Грама и привести формулу её вычисления
2. Объяснить, как матрица Грама связана с ортогональностью векторов

Ответ на 1 минуту

Матрица Грама — это матрица, составленная из скалярных произведений векторов. Если матрица Грама невырождена, векторы линейно независимы. Для трёх векторов в $R^3$ матрица Грама вычисляется как $G = \begin{pmatrix} (x_1, x_1) & (x_1, x_2) & (x_1, x_3) \\ (x_2, x_1) & (x_2, x_2) & (x_2, x_3) \\ (x_3, x_1) & (x_3, x_2) & (x_3, x_3) \end{pmatrix}$