Дайте определение линейного оператора и его матрицы в базисе. Что такое собственные значения и собственные векторы линейного оператора? Докажите, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

План ответа

1. Дать определение линейного оператора и его матрицы в базисе
2. Дать определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора
3. Доказать, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы

Ответ на 1 минуту

Линейный оператор — отображение векторов линейного пространства, сохраняющее операции сложения и умножения на число. Матрица в базисе — таблица коэффициентов при векторах базиса. Собственное значение — число, умножение на которое не меняет направление вектора. Собственный вектор — ненулевой вектор, умножение на который даёт собственное значение. Собственные векторы с разными значениями линейно независимы, так как иначе они выражались бы через друг друга, что невозможно для собственных векторов разных значений