Дайте определение линейного преобразования и его матрицы в базисе. Что такое образ и ядро линейного преобразования? Докажите теорему о размерности образа и ядра.

План ответа

1. Дать определение линейного преобразования и его матрицы в базисе
2. Дать определение образа и ядра линейного преобразования
3. Доказать, что размерность образа плюс размерность ядра равна размерности исходного пространства

Ответ на 1 минуту

Линейное преобразование — отображение векторов линейного пространства, сохраняющее операции сложения и умножения на число. Матрица в базисе — таблица коэффициентов при векторах базиса. Образ — множество векторов, полученных преобразованием. Ядро — множество векторов, преобразующихся в ноль. Размерность образа плюс размерность ядра равна размерности исходного пространства, так как каждый вектор либо преобразуется в образ, либо в ноль в ядре