Библиотека Возможности Предметы Вопросы Войти Начать

Для чайников

dlyachainikov.ru

Сессия для чайников — разберёмся вместе

Политика конфиденциальности Пользовательское соглашение Контакты

Шпаргалка — Для чайников

Войти Начать

К конспекту

Кривые второго порядка

dlyachainikov.ru · Алгебра и геометрия

Определение кривых второго порядка

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$
где $A, B, C$ не равны нулю одновременно.

Каноническое уравнение эллипса

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Каноническое уравнение гиперболы

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Параметризация эллипса и гиперболы

Параметры эллипса можно выразить через параметр $\theta$ следующим образом:
$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$
$y = ax^2 + bx + c$

Каноническое уравнение параболы

$y = ax^2 + bx + c$
$x^2 + 4xy + 4y^2 - x + 2y - 1 = 0$

Пример 1

Привести уравнение $x^2 + 4xy + 4y^2 - x + 2y - 1 = 0$

Пример 2

Найти фокусное расстояние эллипса $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

где

a > b

. Здесь

a

и

b

– длины полуосей эллипса.

эллипс

\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1

здесь

a

и

b

– действительная и мнимая полуоси соответственно.

гипербола

где

\cosh

и

\sinh

– гиперболические функции.

к каноническому виду.

Поворот осей с углом

\phi

приводит к системе уравнений:

2B = A + C, \quad \tan(2\phi) = \frac{2B}{A-C}

После вычисления угла

\phi

и преобразования получаем каноническую форму.

.

Фокусное расстояние находится по формуле

2\sqrt{a^2-b^2}

, где

a

и

b

– длины больших и малых полуосей соответственно.