Исследование функций и построение графиков

dlyachainikov.ru · Математический анализ

Этап 1. Область определения функции

Областью определения функции называется множество всех допустимых значений переменной $x$ . Для нахождения области определения необходимо исключить из рассмотрения значения, при которых функция теряет смысл или становится неопределённой.
$f(x) = \frac{1}{x - 2} \quad \text{{область определения: }} x \neq 2$

Этап 2. Четность и нечетность функции

Функция $f(x)$ является:
четной, если $f(-x) = f(x)$
нечетной, если $f(-x) = -f(x)$

Этап 3. Монотонность функции

Монотонная функция возрастает или убывает на некотором интервале. Функция $f(x)$ возрастает на $(a, b)$ , если для любых $x_1 < x_2$

$$

$### Этап 4. Экстремумы функции Экстремум функции - это точка максимума или минимума. Точка $x_0$ является точкой экстремума, если существует окрестность этой точки, внутри которой функция принимает значения меньше (максимум) или больше (минимум) $f(x_0)$. ##$
$### Этап 5. Выпуклость и вогнутость графика Выпуклая вверх функция имеет кривизну вниз, выпуклая вниз - вверх. ##$
$### Этап 6. Асимптоты функции Асимптота – прямая линия, к которой приближается график функции при удалении от начала координат. - Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ - Вертикальная асимптота: $\lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty$ - Наклонная асимптота: $y = kx + b$ ## Пример исследования функции Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. 1. Область определения: $x \neq 1$ 2. Четность/нечётность: нечетная 3. Монотонность: возрастающая на $(1, +\infty)$, убывающая на $(-\infty, 1)$ 4. Экстремумы: минимум в точке $x=1$ 5. Выпуклость: выпукла вниз на всей области определения 6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=1$, наклонная асимптота $y=x+1$ ## Построение графика функции На основе проведённого исследования строим график функции, отмечая все важные характеристики. ### Вопросы для самопроверки - Как найти область определения функции? - Что такое чётная и нечётная функция? - Какие условия необходимы для наличия экстремума? - Как определить выпуклость функции?$

Этап 1. Область определения функции

Областью определения функции называется множество всех допустимых значений переменной

x

. Для нахождения области определения необходимо исключить из рассмотрения значения, при которых функция теряет смысл или становится неопределённой.

f(x) = \frac{1}{x - 2} \quad \text{{область определения: }} x \neq 2

### Этап 4. Экстремумы функции Экстремум функции - это точка максимума или минимума. Точка $x_0$ является точкой экстремума, если существует окрестность этой точки, внутри которой функция принимает значения меньше (максимум) или больше (минимум) $f(x_0)$. ##

### Этап 5. Выпуклость и вогнутость графика Выпуклая вверх функция имеет кривизну вниз, выпуклая вниз - вверх. ##

### Этап 6. Асимптоты функции Асимптота – прямая линия, к которой приближается график функции при удалении от начала координат. - Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ - Вертикальная асимптота: $\lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty$ - Наклонная асимптота: $y = kx + b$ ## Пример исследования функции Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. 1. Область определения: $x \neq 1$ 2. Четность/нечётность: нечетная 3. Монотонность: возрастающая на $(1, +\infty)$, убывающая на $(-\infty, 1)$ 4. Экстремумы: минимум в точке $x=1$ 5. Выпуклость: выпукла вниз на всей области определения 6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=1$, наклонная асимптота $y=x+1$ ## Построение графика функции На основе проведённого исследования строим график функции, отмечая все важные характеристики. ### Вопросы для самопроверки - Как найти область определения функции? - Что такое чётная и нечётная функция? - Какие условия необходимы для наличия экстремума? - Как определить выпуклость функции?