Формула Тейлора

dlyachainikov.ru · Математический анализ

Определение формулы Тейлора

Формула Тейлора — это разложение функции в окрестности некоторой точки на степенной ряд. Она позволяет приближенно представить функцию с помощью многочлена, что упрощает вычисления и исследование поведения функции.

Общая формула Тейлора

Пусть функция $f(x)$ имеет производные до $(n+1)$ -го порядка включительно в точке $a$ . Тогда формула Тейлора выглядит следующим образом:
$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x),$
где $R_n(x)$ — остаточный член, который описывает погрешность приближения.

Остаточный член формулы Тейлора

Формула Лагранжа:
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},$

Примеры применения формулы Тейлора

$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}.$

Пример задачи

Найти минимум функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ методом Тейлора.
Решение:
Разложим функцию в окрестности точки $x_0 = 1$

Пропуски

формула
точка
остаточный
метод
пример
коэффициент

Определение формулы Тейлора

Формула Тейлора — это разложение функции в окрестности некоторой точки на степенной ряд. Она позволяет приближенно представить функцию с помощью многочлена, что упрощает вычисления и исследование поведения функции.

Общая формула Тейлора

Пусть функция

f(x)

имеет производные до

(n+1)

-го порядка включительно в точке

a

. Тогда формула Тейлора выглядит следующим образом:

f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x),

где

R_n(x)

— остаточный член, который описывает погрешность приближения.