- функция нескольких переменных
- Функция нескольких переменных задаётся как соответствие каждому набору значений нескольких переменных единственное значение.
- частная производная
- Частная производная функции нескольких переменных по одной из переменных показывает скорость изменения функции при фиксированных остальных переменных.
- частная производная по $x
- Частная производная функции $z = f(x, y)$ по переменной $x$ вычисляется как $\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$.
- частная производная по $y
- Частная производная функции $z = f(x, y)$ по переменной $y$ вычисляется как $\frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h}$.
- дифференцируемость функции нескольких переменных
- Если частная производная функции по переменной существует и непрерывна в некоторой области, то функция дифференцируема в этой области.
- дважды дифференцируемая функция
- Функция $f(x, y)$ называется дважды дифференцируемой, если существуют и непрерывны частные производные второго порядка.
- частные производные второго порядка
- Частные производные второго порядка функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ обозначаются как $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$.
- гармоническая функция
- Если частные производные второго порядка функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ равны, то функция называется функцией гармонического типа.
- градиент функции
- Градиент функции нескольких переменных — это вектор, компоненты которого равны частным производным функции по соответствующим переменным.
- градиент в точке
- Градиент функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ вычисляется как $\nabla f(x_0, y_0) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$.
- дифференциал функции нескольких переменных
- Дифференциал функции нескольких переменных — это линейная часть приращения функции.
- дифференциал функции нескольких переменных в форме $df$
- Дифференциал функции $f(x, y)$ вычисляется как $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$.
- аппроксимация приращения дифференциалом
- Если функция $f(x, y)$ дифференцируема в точке $(x_0, y_0)$, то её приращение можно приближённо представить как $\Delta f \approx df$.
- выпуклая вниз функция
- Функция $f(x, y)$ называется выпуклой вниз в области, если её градиент в каждой точке области направлен вниз.
- выпуклая вверх функция
- Функция $f(x, y)$ называется выпуклой вверх в области, если её градиент в каждой точке области направлен вверх.
- точка локального минимума функции нескольких переменных
- Точка $(x_0, y_0)$ называется точкой локального минимума функции $f(x, y)$, если $f(x_0, y_0) \leq f(x, y)$ для всех $(x, y)$ достаточно близких к $(x_0, y_0)$.
- точка локального максимума функции нескольких переменных
- Точка $(x_0, y_0)$ называется точкой локального максимума функции $f(x, y)$, если $f(x_0, y_0) \geq f(x, y)$ для всех $(x, y)$ достаточно близких к $(x_0, y_0)$.